베타 분포(Beta distribution) 확률 밀도 함수 (PDF)는 다음과 같이 표현된다
\(f(x)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\)
디리클레 분포(Dirichlet distribution) 확률 밀도 함수(PDF)는 다음과 같이 표현된다
\(f(x)=\frac{1}{B(\alpha)}\Pi_{i=1}^{k}x_i^{\alpha_i-1}\)
중요한건, 베타분포의 하이퍼파라미터인 \(\alpha\)와 \(\beta\)값은 실제 A와 B가 일어난 횟수+1 이라는 부분이다. 예를 들면 A라는 사건이 10번 일어났고, B라는 사건이 7번 일어났다면, \(\alpha\)와 \(\beta\)는 각각 11과 8이 된다.
\(\alpha - 1 = (사건 A가 일어난 횟수) = 10\)
\(\beta - 1 = (사건 B가 일어난 횟수) = 7\)
\(\alpha=11\)이고 \(\beta=8\)일때 위 식을 만족한다
디리클레 분포도 위의 베타 분포와 마찬가지로 하이퍼파라미터 \(\alpha_i\)의 값은 사건 \(X_i\)가 일어난 횟수+1 이다.
\(\alpha_i - 1 = (사건 X_i가 일어난 횟수)\)
| \(X_i, (k=3)\) | \(\alpha_i, (k=3)\) |
|---|---|
| \(X_1 = 4\) | \(\alpha_1 = 5\) |
| \(X_2 = 7\) | \(\alpha_2 = 8\) |
| \(X_3 = 3\) | \(\alpha_3 = 4\) |
베타분포의 경우 하이퍼파라미터에 따라 그려지는 그래프 모양이 다른데 헷갈리지 않도록 하자! (물론 디리클레 분포도 하이퍼파라미터에 따라 그려지는 그래프 모양이 다릅니다~)